Fungsi dengan dua variabel atau
lebih variabel bebas ini sering kita jumpai dalam penerapan bidang ekonomi dan
bisnis. Karena dalam kenyataannya, bila ditelusuri lebih mendalam biasanya
suatu variabel terikat (dependent
variable) akan dipengaruhi oleh beberapa variabel bebas (independent variables). Namun, perlu
diingat bahwa di antara variabel-variabel bebas ini ada yang saling
mempengaruhi (interdependency), dan
ada pula yang tidak saling mempengaruhi (independent)
satu sama lainnya. Hal inilah yang perlu diperhatikan bilamana akan membuat
suatu model ekonomi atau bisnis, agar dalam analisisnya nanti akan diperoleh
hasil yang sesuai dan akurat.
1. Diferensiasi
parsial
Misalkan, kita mempunyai suatu fungsi dengan n variabel
bebas,
Y = f (X1,X2,..........................Xn)
di mana variabel bebas X1,X2, dan seterusnya sampai Xn adalah tidak saling
mempengaruhi (independent) satu sama
lainnya. Jika variabel terikat Y
berubah yang
diakibatkan oleh perubahan dari salah satu varibel bebas yang
sangat kecil
(katakannlah X1), sedangkan variabel bebas lainnya katakanlah
(X2,X3, ... , Xn) tidak
berubah atau konstan,
maka hal ini dapat disebut sebagai derivatif
parsial dari Y
terhadap X1. Selanjutnya , hal yang serupa bila
variabel bebas X2 yang
berubah-ubah
dan variabel bebas lainnya konstan, maka kita sebut derivatif parsial dari Y terhadap
X2.
Dengan demikian, derivatif parsial
dapat didefinisikan sebagai tingkat perubahan
seketika dari variabel terikat Y yang diakibatkan oleh perubahan dari salah
satu
variabel bebas X, dimana variabel bebas X lainnya dianggap konstan.
Simbol dari
derivatif parsial adalah huruf kecil delta yaitu ∂ atau dengan huruf
kecil d.
Jadi, derivatif parsial Y terhadap X1, dapat ditulis menjadi,
∂ Y atau dy
atau Fxx dan Fyy atau Fx’ dan Fy’.
∂ X1 dx
Penulisan lain derivatif parsial dari suatu fungsi,
Y = f (X1,X2,....Xn) adalah f1,f2,
..... fn
Penulisan ini hampir sama dengan penulisan f’(X) pada fungsi dengan satu variabel
bebas. Namun, bilamana fungsi tidak ditulis dalam bentuk seperti di atas,
melainkan
fungsi ditulis dalam bentuk seperti,
Y = f (U,V,W), maka derivatif parsialnya adalah fu, fv, fw atau ∂Y/∂U, atau ∂Y/∂V,
dan
∂Y/∂W.
Jadi, penulisan derivatif parsial secara umum dari
fungsi,
Y = f (X1,X2,....Xn)
adalah,
fi atau ∂Y
∂Xi
di mana: i =
1,2,.....,n
Proses untuk mencari derivatif parsial disebut
diferensial parsial. Teknik diferensiasi parsial ini berbeda dengan aturan
diferensiasi fungsi dengan satu variabel bebas. Sebuah fungsi yang hanya
mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan yaitu :
jika y = f (x) maka y’ = dy/dx. Sedangkan jika sebuah fungsi mengandung lebih dari
satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, atau jika
suatu fungsi memiliki n variabel bebas maka akan memiliki sebanyak n turunan.
Jika y = f (x,z) maka akan ada 2 y’ yaitu y’ = dy/dx dan y’ = dy/dz. Untuk
membedakan turunan terhadap x dan z maka biasanya akan diberi notasi Fx untuk
turunan terhadap x dan Fz untuk turunan
terhadap z.
Contoh :
Y = 3x² - 8xz – 5 z² maka Fx
= dy/dx = 6x – 8z dan
Fz
= dy/dz = -8x –10 z
Sumber : ModulMTK10 oleh Dra. Aty Herawati,Fakultas Ekonomi Universitas Mercu Buana, Jakarta 2009
0 komentar:
Posting Komentar