Pembahasan Lagrange Multiplier

08.34 | Label: Lagrange

Lagrange multipliers, also called Lagrangian multipliers (e.g., Arfken 1985, p. 945), can be used to find the extrema of a multivariate function

subject to the constraint

, where

and

are functions with continuous first partial derivatives on the open set containing the curve

, and

at any point on the curve (where

is the gradient).

Lagrange, juga disebut pengganda Lagrangian (misalnya, Arfken 1985, hal. 945), dapat digunakan untuk mencari ekstrem dari fungsi multivariat

subyek pada batasan

, di mana f dan g adalah fungsi dengan kontinu pertama derivatif parsial pada himpunan terbuka yang berisi kurva

dan

pada setiap titik pada kurva (di mana

adalah gradien).

For an extremum of

to exist on

, the gradient of

must line up with the gradient of

. In the illustration above,

is shown in red,

in blue, and the intersection of

and

is indicated in light blue. The gradient is a horizontal vector (i.e., it has no

-component) that shows the direction that the function increases; for

it is perpendicular to the curve, which is a straight line in this case. If the two gradients are in the same direction, then one is a multiple (

) of the other, so

Untuk ekstrem dari f ada pada g, gradien harus berbaris dengan gradien dari g. Dalam ilustrasi di atas, f ditampilkan dalam warna merah, sedangkan g biru, dan persimpangan dari f dan g ditandai dengan warna biru terang. Gradien adalah vektor horizontal (i.e., yaitu, tidak memiliki z-component) yang menunjukkan arah bahwa fungsi meningkat; untuk g itu tegak lurus terhadap kurva, yang merupakan garis lurus dalam kasus ini. Jika dua gradien berada dalam arah yang sama, maka satu adalah kelipatan (

) dari yang lain, sehingga

(1)

The two vectors are equal, so all of their components are as well, giving

Dua vektor adalah sama, sehingga semua komponen mereka juga, memberikan

(2)

for all

, ...,

, where the constant

is called the Lagrange multiplier.

untuk semua k=1, ...,n, di mana konstanta

disebut multiplier Lagrange.

The extremum is then found by solving the

equations in

unknowns, which is done without inverting

, which is why Lagrange multipliers can be so useful.

For multiple constraints

, ...,

Ekstrem ini kemudian ditemukan dengan memecahkan persamaan n+1 bila diketahui n+1, yang selesaikan tanpa pembalik g, itulah sebabnya Lagrange bisa sangat berguna.

Untuk beberapa kendala

, ...,